撰稿 / 張鳳吟 (科學推展中心特約編輯)
波前集(wavefront set) WF(f)脫胎於微分方程和數學物理，是微局部分析(microlocal analysis)中的重要概念，刻劃廣義函數f在空間與對應之傅立葉轉換的奇異點與奇異點方向。波前集在1970年左右由瑞典數學家霍德曼(Lars Hörmander)提出，用以解決分布理論的問題，數學物理學家將之應用在彎曲空間量子場的描述。
圖1. 波前集 (wavefront set) 結構相關的幾何與代數對象間的關係。
1981年數學家R. Howe 將波前集的概念引入李群(Lie group)的表現理論(representation theory)，其中它為描述表現之大小與其它性質的重要幾何不變量。表現理論是抽象代數的分支，目的在於將抽象代數的對象表示成具體的矩陣，使抽象代數問題轉化成較易解決的線性代數問題。在最經典的表現理論中，波前集是一個具有高度對稱性的幾何軌道，譬如雙曲線(面)的漸進線(面)，這個漸進模型可控制表現理論函數中傅立葉轉換的漸進行為。
1987年，Moeglin 與 Waldspurger證明自守形式的Whittaker模型的表現之存在由波前集決定，而這「不變量」描述函數所在空間的無限維大小。自守形式的Whittaker模型，由對應質數p=2,3,5,7,…的局部degenerate Whittaker模型構成，每個局部表現是一個p進位(p-adic)群的表現，他們提出一個猜想，認為每個p進位群的波前集都在某一個幾何軌道裡(也就是，幾何波前集只有一個元素，為一singleton)，並預期可用這個幾何軌道來預測這些表現的性質，這個猜想一直為學界所接受。
然而在2023年，甫獲2024年中研院年輕學者研究成果獎的中央研究院數學研究所蔡政江副研究員提出了反例，推翻這1987年以來學界對波前集基本結構的普遍猜想，他將一種類型的局部degenerate Whittaker模型的存在縮小為modulo p多項式方程的解的存在，指出當特定的代數幾何形體上沒有mod p座標的點時，這個波前集可以比過去預測的更小。蔡教授輔以電腦程式驗證其演算法結果，並為p進位群上的調和分析創造新的思考方向，他的工作發表於頂尖期刊《美國數學學會期刊》(Journal of the American Mathematical Society)[1]。
圖2. 深度為零 (depth-zero) 和一般表現 (general representation) 的波前集結構，以及它們與李群對偶空間中幾何元素 X∈g* 之間的關聯。
蔡研究員的工作對波前集問題有重要的影響，許多現代方法需要重新修訂，鑒於此，蔡研究員計畫發展新的理論和方法來探討波前集的結構，他已和美國多個團隊進行合作。
