【研究現況】代數幾何與不規則霍奇理論

撰稿  /  魏健安 (科學推展中心特約編輯)

---

數學，如果簡單來分可以分為「代數」和「幾何」兩個領域，代數就是小時候學過的方程式，而幾何則是所有跟圖形有關的東西，這兩者看似被二分法給區隔開來，但其實這兩者並不是如此勢不兩立。

數學中還有「代數幾何」這個領域，它試圖要用代數的形式來描述一個圖形的幾何性質，想辦法把一個幾何圖形寫成方程式的樣子，而臺大數學系余正道教授就專門研究代數幾何中的「霍奇理論（Hodge theory）」。

霍奇理論在代數幾何中扮演著非常重要的角色，霍奇理論是利用線性的結構，即所謂的霍奇結構，來研究非線性的幾何或是算術問題。例如：黎曼曲面（Riemann surface）的分類理論，只要它在幾何上的「奇異同調群」（singular homology group）這個拓樸不變量一樣，它就能用霍奇結構來表示這個曲面，就能以代數的形式來描述這個幾何圖形。同理，黎曼曲面的變動也可轉化為研究其所對應的霍奇結構的變動，把幾何上的問題簡化為線性代數來分析。

余正道教授近期的研究則是將上述的理論推廣至所謂的「不規則霍奇理論」。不規則霍奇理論主要是研究：一個任一維度的代數流形（algebraic variety）加上一個位能函數（potential function）是否都能找出有意義的霍奇結構。

假如這個位能函數是一個常數，則結果會跟原本的霍奇結構一樣，因為常數不影響這個方程式。但如果當位能不是常數時，就會進而影響原本的理論，而這個不同於原本霍奇結構的新結果，就被稱為「不規則霍奇理論」，這個理論最早是由比利時數學家皮埃爾·德利涅（Pierre Deligne）所提出。因為位能的出現，使得霍奇理論背後的微分方程產生「不規則奇異點」，此現象在舊有理論裡面並不會出現，是本次研究中重要且有趣的特點。

而這個「不規則霍奇理論」除了在這次研究中出現，也可以在數學物理上的「鏡對稱」的研究中找到這個新理論。因此可以預期的是不規則霍奇理論將可能在鏡對稱研究中提供更多有用的資訊與不同的觀點。

余正道教授在不規則霍奇理論的研究成果主要包含以下兩個面向。第一個是建立此理論的存在性、構造方式與重要的基本性質，主要是與克勞德·薩巴（Claude Sabbah）教授的一系列合作研究。第二個是在關於不規則霍奇理論在算術上的應用的研究，是與哈維爾·弗雷森（Javier Fresán）與克勞德·薩巴（Claude Sabbah）兩位教授合作。他們以不規則霍奇結構的觀點研究古典的克洛斯特曼和（Kloosterman sums）的算術性質，並且得到相當完整與精細的算術結構，這個成果提供了不規則霍奇理論應用的重要突破，也開創了代數幾何新的研究方向。