撰稿 / 何郁庭（科推中心特約編輯）

審訂 / 廖國偉 主任（國立臺灣大學生物環境系統工程學系暨研究所）

　　初抵滲流（First-Passage Percolation, 簡稱 FPP）是機率論與統計物理學中的一個經典隨機模型，1965 年由數學家 John Hammersley 和 Dominic Welsh引入。它用來描述在一個隨機且充滿障礙的介質中，訊號、液體或粒子擴散的最快路徑與時間。FPP通常定義於網格或圖結構上（如二維方格網格 ℤ² 或其子圖 𝔾_f）網格的每條邊上放一個獨立的非負隨機權重，兩點之間的「通過時間」就是所有路徑中權重總和的最小值。這個模型可以想像成流體在多孔介質中滲流，或訊息在隨機網路中傳遞，在各學科都有廣泛的應用。
　　FPP在整個 ℤ² 上的圖像已相當清楚。FPP的兩點最短通過時間 T_f (x, y) (或x到y的最短抵達時間) 在 |x - y | → ∞時，通常與距離成線性關係，因而可定義一個時間常數
，
其中 e₁ = (1, 0)。若邊的權重有 p 的機率為 0 時，Kesten 等人的研究揭示，當 p < 1/2，零權重邊只形成有限小叢集，通過時間 T_f  隨距離線性增長，μ > 0；p > 1/2 時，零權重邊形成無窮叢集，通過時間維持在緊密有限的區間，因此 μ = 0；當 p = 1/2 則是處在微妙的臨界情形，μ = 0。
　　115 年度吳大猷先生紀念獎得主臺大數學系林偉傑副教授，與美國喬治亞理工學院數學系 Michael Damron 合作，在最新發表於《應用機率年刊》（Annals of Applied Probability）的工作中[1]，探討將 ℤ² 空間範圍限縮於一個狹長的對數楔形圖 𝔾_f 上（只保留第一座標軸與邊界函數 f 之間的格點），深入研究 FPP 通過時間的精確成長速率。楔形圖滲流問題最早由 Grimmett 於 1983 年提出，而 2015 年 Ahlberg 首度考慮楔形圖上的 FPP。Ahlberg 以邊界函數 f (u) = a  log ⁡(1 + u ) 為例，發現滲流臨界值 p_c (f ) 會嚴格大於 1/2；並且對於 p ∈ (1/2, p_c )，T_f  的成長為次線性的（sublinear）。然而，Ahlberg 的方法只有給予定性的結果，無法得到 T_f  隨距離成長的真實精確速率。
　　因此，為精確計算 FPP 在楔形圖上的傳播時間，林偉傑與 Damron 研究團隊借鑑 Chayes–Chayes 的經驗考慮更一般性的雙對數邊界的例子 𝔾_{a, b}：
f (u) = a  log (1 + u ) + b log ⁡(1 + log ⁡(1 + u ) ) (a > 0, b ≥ 0)
並設定邊的權重分布滿足間係條件（gap condition）：
ℙ (τ_e = 0) = p ∈ [1/2, 1) 且對某個 δ > 0, ℙ(τ_e ≤ δ ) = p
 

圖1　對於 n = 10，𝔾_{a, b} (n ) 的幾何與邊界曲線。黑色實線曲線代表邊界函數 f (u ) = a log⁡ (1 + u ) + b log⁡ (1 + log ⁡(1 + u ) )，實心原點代表 𝔾_{a, b} (n ) 的頂點（參考資料：Damron, Michael, and Wai-Kit Lam (2026)）

　　團隊獲得幾項重要成果，首先證明通過時間的期望值不再如傳統網格一樣與距離呈線性成長，而是取決於參數 a，b ，以及與 ξ (1 - p ) 的關係，其中 ξ 為次臨界滲流中，兩點相連的機率隨距離 n 以 e ^-nξ 速度衰減的相關長度：
(1) 當 p = 1/2，通過時間的成長速率為 n / (a log⁡n )
(2) 當 p > 1/2，成長速率取決於 a，b，p 之間的關係，可呈現四種不同級別
    (a) 當 a < ξ (1 - p )，通道極度狹窄，通過時間呈
        
         多項式成長。
    (b) 當 b < a = ξ (1 - p)，成長顯著減緩，時間縮減為
          

    (c) 當 b = a = ξ (1 - p )，處於臨界邊緣，時間以 log ⁡log ⁡n 的速率緩慢上升。
(3) 其他，期望通過時間有界(< ∞)。
　　除此之外，透過上述楔形圖幾何的設置，團隊證明了，只要對數邊界參數 a, b 使通過時間的期望值發散，其變異數的漸近就會與期望值有相同order，且波動經過標準化後遵守標準常態分佈（中央極限定理）。另外在1980 年代，Chayes–Chayes的研究曾指出，當雙重對數項的參數滿足 b > 2a 時，伯努利滲流的相變是不連續的。團隊改善前者的結果，證明在 𝔾_{a, b} 上，滲流相變不連續的充分條件若且唯若(if and only if) b > a。最後，團隊也對 Grimmett 1981 年所提的狹長矩形「海綿跨越（Sponge Crossing）」機率估計提出改進。

參考文獻：
[1] Damron, Michael, and Wai-Kit Lam. "Asymptotics for First-Passage Percolation on Logarithmic Subgraphs of Z^2." The Annals of Applied Probability, vol. 36, no. 2, 2026, pp. 1178–1227