撰稿 / 張鳳吟（科推中心特約編輯）、廖軒毅 教授（國立清華大學數學系）
審訂 / 廖軒毅教授（國立清華大學數學系）
在傳統光滑流形理論中，兩個子流形的相交（其交集可視為兩個包含映射的纖維積，fibered product）若滿足橫截性條件（transversality），便能保證交集仍是一個光滑流形。當橫截性缺失時——例如子流形發生相切或局部重疊——其交集可能不再是光滑流形，導致傳統流形範疇下的纖維積不一定存在。
為了解決相交非橫截性的問題，數學家引入導出幾何（derived geometry）的概念，運用同倫（homotopy）的理論，擴充傳統微分幾何的研究框架。同倫在拓樸學中是連續變形的概念。在這裡，同倫論提供比較不同幾何模型的方法；導出交集保留原來的交點，並以額外的結構記錄非橫截相交的資訊。導出微分幾何的現代發展，受到 Bertrand Toën、Gabriele Vezzosi 與 Jacob Lurie 等人關於導出代數幾何（derived algebraic geometry）的工作啟發。在本文介紹的
L∞-叢框架中，可用「同倫纖維積」（homotopy fibered product）定義導出交集。對光滑流形 M 中的子流形 X 與 Y，導出交集的古典軌跡仍是集合交集 X ∩ Y，其虛擬維數為 dim X + dim Y − dim M；這不表示古典交集本身具有該維數。
關於導出微分幾何的早期工作中，David Spivak 於 2010 年在導出代數幾何手法中，以微分幾何裡的 C∞ -環
（C∞ - rings）取代代數幾何的環。然而 C∞ -環不易直接對應微分幾何的經典理論。為此，國立清華大學數學系廖軒毅副教授，與英屬哥倫比亞大學 Kai Behrend 教授、賓州州立大學徐平教授合作，2024 年與 2025 年發表了一系列研究，採用 L∞ -叢（此處指正分次彎曲 L∞ [1]-代數叢），在不依賴 C∞ -環理論工具的情況下，建立導出微分幾何的一套具體幾何模型。
他們採用有限正振幅微分分次流形（dg manifolds of finite positive amplitude）――等效於正分次彎曲 L∞ [1]-代數叢（bundles of positively graded curved L∞ [1]-algebras）――精神上，類似導出代數幾何的 dg 方法，在不依賴 C∞ -環理論工具的情況下，證明了這些 L∞ -叢構成一個Brown 意義下的「纖維物件範疇（Category of Fibrant Objects，CFO）」，並引入了路徑空間構造。接著，團隊進一步深入研究 L∞ -叢的結構與幾何性質，證明étale 纖維化（étale fibrations）的結構定理、反函數定理，並簡化了其同倫範疇的描述，也證明弱等價誘導全域函數代數的擬同構。這一系列研究，成果分別發表於《國際數學研究通訊》（International Mathematics Research Notices, 2024）1與《倫敦數學學會會刊》（Proceedings of the London Mathematical Society, 2025）2。
L∞ - 叢
一個 L∞ -叢 M = (M, L, λ) 由以下元素組成：(1) 底空間 M 為一 C∞-流形。(2) M上方配置有限維正分次向量叢：
L = L1 ⊕ L2 ⊕ … ⊕ Ln 。(3) 曲率與多重運算 λ = (λk )k≥0 ，使每個纖維成為彎曲 L∞ [1]-代數，各多重運算皆光滑且次數為 1。其中 λ₀ 是 L1 的截面，稱為曲率，它的零點集就是「古典軌跡」（classical locus），不必是光滑子流形。L∞ -叢等價於在底流形 M 上的分次交換代數層 SymOML∨ 上配備由 λ 誘導、次數為 1 且滿足 Q2 = 0 的微分 Q，從而得到交換微分分次代數（cdga）層，也就是有限正振幅的 dg -流形。
Brown 意義下的「纖維物件範疇」
廖軒毅副教授團隊在該研究的主要成果之一為證明 L∞ -叢的範疇構成了一個 Brown 意義下的「纖維物件範疇（CFO）」。CFO 是數學家 Kenneth S. Brown 於 1973 年所提出的以弱等價與纖維化建立同倫論的公理體系，其核心是在不要求完整的 Quillen 模型範疇結構的前提下，只需一個範疇 C 配有兩類態射（morphism）——弱等價（weak equivalences）與纖維化（fibrations）——並滿足少數幾條公理，就足以定義同倫範疇與同倫纖維積。這也意味著，在這套公理及路徑空間構造的支持下，L∞ -叢範疇可以直接進行同倫纖維積的計算，從而定義光滑流形子流形的導出交集。
CFO 最關鍵的公理是「任何態射皆可分解為先弱等價、後纖維化的合成」，團隊透過建構L∞-叢的導出路徑空間（derived path space）來作證明。受到理論物理 AKSZ 構造的啟發，團隊先利用移位切叢的無限維路徑模型，研究對角態射的因子分解 Δ : M → M × M。然而，真實的路徑空間包含所有的光滑映射，是無限維的，為了將無窮維模型精確縮減為有限維 L∞ -叢，團隊先選取底流形上的仿射聯絡，將底空間限制到短測地線（short geodesic paths）所成的有限維流形；再選取向量叢上的線性聯絡，受 Fiorenza-Manetti 方法啟發，逐纖維將同倫轉移定理應用於彎曲 L∞ [1]-代數，構造出有限維正振幅的 L∞ -叢模型，轉移後的纖維運算可透過「有根樹（rooted trees）」的有限求和公式精確顯式表達。
團隊利用上述有限維導出路徑空間 PM，驗證了 Kenneth Brown 的纖維物件範疇公理，這項成果成功證明了所有有限正振幅的 L∞ -叢構成一個纖維物件範疇，為導出微分幾何提供了一套幾何化且具體可算的模型。
L∞-叢的 Étale 纖維化與同倫簡化
團隊建立起 L∞ -叢（即有限正振幅 dg -流形）的「纖維物件範疇」幾何架構後，在 2025 年關於 étale 纖維化的後續論文中進一步深入研究這些幾何空間之間的態射局部結構與同倫範疇的簡化計算。
如前述，L∞ -叢範疇有兩種特別重要的態射類別，分別為纖維化（fibrations）與弱等價。纖維化要求底流形映射為浸沒映射（submersion），且態射的線性部分為滿射。弱等價為古典軌跡上的雙射（bijection）加上在每個古典點誘導切複形（tangent complexes）的擬同構（quasi-isomorphism），後者即 étale 條件。L∞ -叢之間的一個態射若同時滿足纖維化與 étale，就稱為 étale 纖維化。團隊證明，對線性 étale 纖維化，可先以局部同構（local isomorphism）替換目標，再透過簡單嵌入（simple embedding）及有限次轉移嵌入（transfer embedding）構造回到來源的態射，使它與原纖維化的合成等於該局部同構，所以在局部同構的一個可逆分支上，便可得到原纖維化的局部截面。
作為應用，團隊利用這個結構定理，首先得到 L∞ -叢的反函數定理：纖維化在每個滿足 étale 條件的古典點附近，具有通過該點的局部截面。特別地，平凡纖維化（trivial fibrations，同時為纖維化與弱等價的態射）在目標古典軌跡的某個開鄰域上存在截面。對普通光滑流形，étale 條件就是微分可逆，因此上述局部結論回到經典的反函數定理。一般 L∞ -叢的截面則不必是雙側逆態射。其次，利用同一個結構定理，團隊證明 L∞ -叢之間的弱等價會透過函數拉回誘導全域函數 cdga（交換微分分次代數）的擬同構，因此全域函數代數在擬同構意義下是 L∞ -叢的同倫不變量。最後，當只記錄態射在古典軌跡附近的芽（germs）時，團隊證明反函數定理使同倫範疇中的態射集可直接描述為態射（芽）的同倫類，這裡允許在古典軌跡的開鄰域上定義態射，並在適當縮小鄰域後比較同倫，不再需要抽象的分式演算。
References
1. K. Behrend, H.-Y. Liao, and P. Xu, Differential graded manifolds of finite positive amplitude, Int. Math. Res. Not. IMRN 2024 (2024), no. 8, 7160–7200
2. K. Behrend, H.-Y. Liao, and P. Xu, On the structure of étale fibrations of L∞-bundles, Proc. Lond. Math. Soc. (3) 131 (2025), e70115
