創新的「象徵性區間值迴歸模型」解決區間上下界交錯難題

撰稿 / 張鳳吟（科學推展中心執行編輯）

審訂 / 林良靖教授（國立成功大學統計與資料科學學系）

　　近年來，由於各項技術的發展，短時間區間的資料擷取已變得相當便利，例如每 10 分鐘或每小時收集一次的氣象與污染觀測值。然而，在許多統計分析的實務應用中，研究人員更希望探討更寬廣時間範圍的變數關係，像是「日與日之間」的關聯。象徵性資料分析（symbolic data analysis）是為解決此種問題所發展出來的延伸統計方法，它不僅提供宏觀的統計推論，同時也能盡可能地保留微觀資料的資訊。其中的常見作法是將這些微觀資料重新整理為區間值資料（interval-valued data）――不同於單一值，區間值資料包含區間內的最大、最小值――再針對這些區間值開發相應的迴歸模型。
　　2000年，Billard與Diday首次針對區間值資料發展出一套線性迴歸模型，隨後2002年他們考慮「最大-最小法」，將各種標準線性迴歸擬合至區間值資料端點的所有組合；2008年Lima-Neto 與 De Carvalho發展「中心值與範圍法」（center and range method），分別針對區間的中心值與範圍擬合迴歸直線。然而，這兩種方法都碰到一樣的問題：若參數為負值，無法保證預測的區間上界必然大於下界。為此，Lima-Neto 與 De Carvalho限制所有參數皆為正值；González-Rivera與Lin則限制殘差（residuals，觀測值與統計量估計值的差）的分布，以維持上下界的自然順序。
　　在最新發表於《統計理論與應用期刊》（Journal of Statistical Theory and Applications）的研究中[1]，成功大學統計與資料科學學系林良靖教授提出創新的「象徵性區間值迴歸模型」，此模型利用最大、最小的順序統計量（order statistics）將微觀資料重新整理成區間，利用順序統計量的性質，可確保區間上界永遠大於下界，不須額外的限制。除此之外，新的模型不受傳統模型仰賴均勻分布假設的限制，展現其適應性與彈性，並可嚴格推導其漸進結果。

象徵性區間值迴歸模型
　　考慮 X = { X₁, …, X_m }, Y = { Y₁, …, Y_m } 為觀測區間值資料集，其中X_i= [X_u,i, X_l ,i ]^T, Y_i= [ Y_u,i, Y_l ,i ]^T，自變數與依變數的上下界 X_u ,i > X_l ,i, Y_u ,i> Y_l ,i，i = 1, …, m 。模型假設殘差區間 ε_i= (ε_u_,i, ε_l ,i )^T 來自 n 個獨立同分佈的常態隨機變數
N (0, σ² ) 的最大值（ε_{u , i}）與最小值（ε_{l , i}），因此可建構一個簡單的一元線性模型為：
Y_i= β₀+ β₁X_i+ ε_i, i = 1, …, m
並要求

如此不論 β₁> 0 或 β₁< 0，都能確保 Y_u ,i> Y_l ,i 的順序。林良靖教授從順序統計量的機率密度函數出發，推導參數
θ = (β ₀, β ₁, σ ² )的完整概似函數，進而得到最大概似估計量（maximum likelihood estimators，MLEs）及其費雪訊息矩陣（Fisher information matrix），證明MLEs具有漸進常態性（asymptotic normality）。此外，模型亦可推廣至p個自變數的多元情況，並同樣推導出了對應的MLEs。
檢驗與應用
　　為了檢驗模型的表現，林良靖教授以偏差（bias）與均方根誤差（RMSE）作為衡量指標，進行蒙地卡羅模擬與現實資料分析。蒙地卡羅模擬以三種情景進行，結果顯示新模型在各種情景的有效性，尤其在資料非同步取樣的情形誤差明顯小於傳統的平均法。現實資料包括：(1)心臟學區間值資料，以收縮壓與舒張壓的區間，預測患者的脈搏率區間。(2)台灣南部PM2.5實測濃度，濃度為每小時取樣，溫度及風速為每10分鐘取樣。結果顯示，與上述其它方法相比，新模型的RMSE皆為最小，而擬合結果也揭露，風速上升會降低 PM2.5濃度，溫度上升則會增加 PM2.5 濃度。