撰稿 / 張鳳吟（科推中心特約編輯）
審訂 / 陳界山 院長（國立臺灣師範大學理學院、數學系教授）
平衡點（Equilibrium Point）就是系統到達某個狀態後，所有力量、利益或調整方向彼此抵消，因此不再有改變的趨勢。最著名的是 John Nash 提出的納許均衡（Nash Equilibrium），代表每個人都已經做出在別人策略固定下最好的選擇。在最佳化領域中變分不等式（Variational Inequality，VI）即是用來描述這種平衡狀態的數學模型：給定一個非空閉凸集 ℂ 與其上的映射 A，找出 x＊∈ ℂ，使得：〈A(x＊), x - x＊ 〉≥ 0, ∀x ∈ ℂ，其中 〈∙,∙〉代表內積。在這裡，平衡點的意義代表可行集合 ℂ 中，沒有任何方向可以讓系統變得更好。然而，當處理現實問題，映射不再是「一對一」的單一值，而是對應到一個「可能值的集合」時，就需要多值變分不等式（Multivalued Variational Inequality，MVI），這時問題轉變為一個多值成本映射（multivalued cost mapping）𝒜：C→2ℋ (ℋ 為實Hilbert空間)，尋找 x* ∈ ℂ 與 w* ∈ 𝒜(x* )，使得⟨w*, x - x＊ ⟩ ≥ 0 ∀x ∈ ℂ。MVI 能夠有效處理非光滑函數、多重平衡或不確定性等更複雜的系統，因此在賽局理論（如 Nash-Cournot 經濟模型）、控制理論、影像處理和電力市場經濟學中都有極其廣泛的應用。
多值成本映射是個困難的問題，為了求解 MVI，最早發展出來的迭代演算法之一為投影梯度演算法（Projection Gradient Algorithm，PGA），然而PGA在每一次迭代中都需要計算點到 ℂ 的精確度量（metric）投影，當未知數很大時，就要花費相當多的時間成本。為了克服此限制，台灣師範大學數學系陳界山教授與來自維新大學、海防大學、郵政電信技術學院等多位越南學者展開台越合作，提出一套全新的VIP-黏滯不精確投影演算法（VIP- Viscosity Inexact Projection Algorithm）。此演算法運用不精確投影的概念，結合黏滯技術（Viscosity Technique）及具備自適應步長(self-adaptive step size)的Mann型迭代法，使每次疊代只需兩次評估多值映射 𝒜 及一次計算不精確投影點，大幅提升求解的效率[1]。
傳統的投影法從任意一點出發，反覆將當前迭代點投影到可行集上，逐步逼近問題的解。而不精確投影不要求找到最佳的投影點，只需找到一個滿足特定誤差條件的近似點即可。為了避免演算法發生數值震盪，黏滯法的作用是引進一個收縮映射（Contraction Mapping），如同數學的黏滯力，將迭代序列朝向解集中的一個特定點收斂。研究團隊嚴格證明，當成本映射滿足偽單調性（Pseudomonotonicity）與 Hausdorff-Lipschitz 連續性條件時，VIP 演算法具有強收斂性。
VIP 演算法能解決「單一」的多值變異數不等式（MVI）問題，為尋找「兩個」不同 MVI 問題的共同解（common solution），團隊基於馮·紐曼交替法（Von Neumann Alternating Method）的概念，進一步提出 MVIP 演算法（Modified Viscosity Inexact Projection Algorithm）來找出能夠使整體環境成本最小化的平衡解。
研究團隊以電力生產模型作為MVIP 演算法的測試平台，這個模型模擬多家電廠在共同市場中的競爭情形，每家廠商需在考量環境費用、生產成本與市場價格的條件下，尋找最適產量的平衡解。實驗結果顯示，在不同的起始條件下，演算法的迭代序列均能克服初期的震盪，穩定趨近平衡解，如圖1。
