馬寧猜想（Manin's Conjecture）是算術幾何領域一個非常著名的猜想，由俄羅斯數學家尤里•馬寧（Yuri Manin）於 1989 年提出，主要是用來預測代數簇（Algebraic Varieties）上「有理點（Rational Points）」的分布規律與數量增長速度。假使我們有一個定義在有理數體 ℚ 上的幾何空間（如法諾簇Fano Varieties），若想知道這個空間裡有理點的分佈規律，馬寧猜想預測：當我們用「高度函數」（Height function H (x)，用來衡量有理數點複雜度的指標）限制點的大小，在高度上限 B → ∞ 時，高度小於 B 的有理點個數 N (U ,B ) 的漸近增長速度滿足 N (B )~cB ( log⁡B )^(r -1)，其中 c > 0為Peyre 常數，r 為空間的幾何結構——Picard 群的秩。這項猜想彰顯代數簇上有理點的增長速度完全由該幾何體的內在幾何結構所支配，成功地將數論與代數幾何完美結合。
　　馬寧猜想的證明在一些具有良好結構（如對稱性）的簇上已有相當的進展，然而，對於一般有理投影簇，因為其高度函數的代數複雜性，要證明仍非常困難。過去的研究多著重於雙側緊化（two-sided compactifications）之交換群（abelian groups）；相較之下，單側緊化缺乏對稱性，而非交換群涉及無限維空間，分析起來極為複雜。2012 年 Sho Tanimoto 與 Yuri Tschinkel 首次針對單側等變緊化的半直積（含平移-伸縮群）非交換代數群，應用高度 zeta 函數方法證明馬寧猜想[1]，然而這方法有其幾何侷限性，特別是對邊界除子(divisors)階數的限制。為解決此問題，中研院數學所汪洋助研究員引入新的幾何觀測與參數化方法，成功突破這些限制，證明非交換的平移-伸縮群 (G = ax + b)在所有「充分分裂」（sufficiently split）的單側光滑等變緊化空間下，其馬寧猜想成立。這項成果對其它非交換群可能有所幫助，不過更廣泛的延伸尚待未來的研究。研究發表於頂級期刊《數學進展》（Advances in Mathematics）上[2]。
　　具體而言，平移-伸縮群可表示為  滿足非交換的群乘法運算規則：(a ,b) • (u ₁, u ₂ ) = (au ₁, au ₂ + b)。Tanimoto–Tschinkel方法雖可處理非交換群的問題，但極度依賴邊界的幾何限制，若條件不成立，邊界就會出現所謂的「特殊除子」（special divisors），而無法適用。為克服特殊除子的複雜相交與發散風險，汪助研究員結合算術幾何、自守形式、解析數論等工具，引入新的局部坐標系將特殊除子解耦合 （Decoupling），成功降低其複雜度。接著，他將高度zeta函數轉化成Clausen型多重狄利克雷級數 (Clausen-like multiple Dirichlet series)，透過其衰減性及級數震盪的抵銷機制，證明了高度 zeta 函數的解析性質。汪助研究員證明，若 X 為 G 在 ℚ 上的光滑、投影右側等變緊化，且假設 X為嚴格分裂，則有理點的計數滿足：
　　
這裡的 𝒜_X ,H > 0 為馬寧猜想中所預測的佩爾常數（Peyre's constant）。他也將新的方法應用於已解的奇異四次 del Pezzo 曲面結構，證明Tanimoto–Tschinkel方法在此例子失效，但新方法仍適用。
    汪助研究員說明，雖然新方法解決了主項（main term）的馬寧猜想，但當邊界除子的幾何構造變得足夠複雜時，次級項（secondary term）就會變得難以捉摸，期待未來能透過多重狄利克雷級數的亞純延拓（meromorphic continuation） 做進一步突破。

Reference：
[1] S. Tanimoto, Y. Tschinkel, “Height zeta functions of equivariant compactifications of semi-direct products of algebraic groups”, in: Zeta Functions in Algebra and Geometry, 2012, pp. 119–157
[2] Victor Y. Wang, "Asymptotic growth of translation-dilation orbits", Adv. Math., 475, 110341(2025)