撰稿 / 許芷辰（科學推展中心特約編輯）

審訂 / 高英哲 教授（台大物理系）、林及仁教授（陽交大物理所）

　　過去物理學界認為在量子世界中要產生「動態量子相變（DQPT）」，跟傳統相變現象一樣，系統必須跨越相圖上的相邊界。然而，國立臺灣大學物理系高英哲教授以及國立陽明交通大學物理所林及仁教授參與的國際團隊，近期在《Physical Review Research》發表的研究發現，在晶格 Thirring 模型中，決定「DQPT與否」的不是系統在淬火中是否跨越了零溫度的相邊界，而是初始量子態所攜帶的「能量密度」。而這個能量門檻，竟然與溫度相圖中的物理轉折點有著高度定量的關聯。[1]

動態量子相變（Dynamical Quantum Phase Transition）是什麼？
　　在量子物理中，有一類特殊的實驗情境叫做「量子淬火（quantum quench）」。系統先在哈密頓量H₁下達到基態，接著在某個時刻突然切換成另一個哈密頓量H₂繼續演化。物理學家用一個叫做「洛施密特回波（Loschmidt echo）」的量，來追蹤系統在演化後與初始狀態的相似程度。當這個相似度在某個瞬間驟然歸零，也就是洛施密特率函數（Loschmidt rate function）在某個瞬間出現非解析的尖銳折點（非必然為零值）。[2]這個折點，就是動態量子相變（Dynamical Quantum Phase Transition，DQPT）發生的訊號，也是這項研究的核心探討對象。
　　DQPT 並非由溫度或壓力驅動，而是純粹屬於量子動力學的非平衡現象。自 2013 年被理論提出，至今已在離子阱與超導量子位元的實驗中獲得觀測，是當前量子多體物理的前沿。過去，研究者普遍認為它的出現需要系統從一個相「跨越」到另一個相。而高英哲教授及林及仁教授團隊的這項研究，正是對這個假設的系統性挑戰。

為什麼選擇晶格 Thirring 模型？
　　要挑戰一個舊有認知，需要一個夠乾淨、夠可控的實驗模型。研究團隊選用的是 Thirring 模型，一個在理論物理中研究了數十年的量子場論，描述費米子在一維空間中的相互作用。
不過，量子場論本身定義在連續的空間上，無法直接進行數值計算。研究團隊採用的是它的晶格（lattice）版本，也就是把連續空間切割成離散的格點，讓電腦得以處理。透過逐步縮小格點間距，可以逐漸逼近連續場論的結果。正是這個離散化的步驟，讓整個數值研究成為可能。
　　晶格 Thirring 模型的另一個優勢在於，研究者對它的平衡態相圖已有非常清楚的掌握。這個模型在低溫下存在兩種截然不同的狀態，「臨界相」和「有隙相」，之間隔著一條BKT（Berezinskii-Kosterlitz-Thouless）相變線（圖一）。在已知相圖的基礎上，研究團隊想問：「當系統被推離平衡，DQPT的出現，真的和這張地圖有關嗎？」
 

圖一、Thirring 模型的零溫度相圖（耦合常數和質量平面）。藍色為臨界相，橘色為有隙相，灰色為數值上無法確定相歸屬的區域，BKT 相變線必然落在其中某處。黑點標示本研究中觀察到 DQPT 的一個案例，位於有隙相內部，說明 DQPT 不需要跨越相邊界。

用張量網路解開量子演化
　　要在電腦上模擬量子系統，有一道根本的困難：N個自旋的系統需要 2^N個數字才能完整描述，N稍微增加，所需的資訊量就會超出任何電腦的負荷。研究團隊使用的矩陣乘積態（Matrix Product State，MPS），是目前處理一維量子系統最有效的方法之一。因為量子系統中大部分重要的關聯都發生在鄰近粒子之間，遠端粒子的糾纏相對稀薄。利用這個特性，MPS 把龐大的量子態壓縮成一串矩陣的乘積，讓計算量從不可能變成可處理範圍。
　　研究團隊採用了適合無限長鏈的均勻 MPS（uniform MPS, uMPS），讓系統直接在熱力學極限下運算，排除了有限系統大小帶來的干擾。DQPT 是否發生，則透過追蹤混合轉移矩陣（mixed transfer matrix）來判斷。這個算符（operator）把初始狀態的資訊和演化後的狀態交疊比對。當它的最大特徵值被另一個特徵值取代，演化速率函數就出現折點，DQPT 宣告發生。圖二展示了這個機制最直觀的證據。

圖二、返回率函數與混合轉移矩陣（mixed transfer matrix）特徵值譜的對比。 (a) 某初態淬火後，返回率平滑，無 DQPT。 (b) 僅微調初態使能量密度跨過門檻，在 t *= 7.78 出現 DQPT，返回率出現尖銳折點。內嵌特徵值譜顯示，折點時刻恰好對應主導特徵值相位的不連續跳躍。

核心發現：能量門檻，而非相邊界
　　有了可靠的工具和受控的模型，研究團隊系統性地掃描了大量不同的初始狀態，對臨界相（critical phase）和有隙相（gapped phase）各自的演化哈密頓量（系統切換後遵守的物理規則），逐一記錄是否出現 DQPT。
　　結果表明，不管初態和演化規則分別落在哪個相，只要初態的能量密度低於某個臨界值Ec/N，就看不到 DQPT；一旦超過，幾乎必然出現（圖三）。這個門檻在兩個相的淬火中均成立，且與初態位於哪個相無關。
 

圖三、初態能量密度在參數空間上的分布。圖a對應淬火至臨界相，圖b對應有隙相。圓點標示觀察到 DQPT之初態。中間的水平平面為臨界能量密度EcN。只有當量子態的能量高於這個「灰色平面」時，動態量子相變才可能發生。

　　研究團隊進一步把這個能量密度轉換成一個「有效溫度」，也就是在熱平衡下具有相同能量密度的 Gibbs 態所對應的溫度。換言之，DQPT 的出現，要求初態「夠熱」，要求它攜帶足夠的能量，而不是要求它來自相圖的某個特定區域。

能量門檻與有限溫度相結構的對應
　　確立能量門檻後，研究團隊進一步追問：這個門檻是否在熱平衡的世界裡也有對應的意義？
在有隙相的淬火中，研究團隊分析了不同溫度下熱平衡態的弦關聯子（string correlator），一個對有隙相的特性特別敏感的關聯量，追蹤其長距離常數C隨溫度的變化。他們發現這個關聯量在某個特定溫度附近，從非零值急速跌落為零，而這個轉變溫度，與 DQPT 能量門檻對應的臨界逆溫度幾乎完全吻合。（圖四）
 

圖四、有限溫度下弦關聯子常數C隨逆溫度β（橫軸向右代表溫度降低）的變化。常數C在β_c約為1.70（灰色虛線）附近隨溫度升高急速跌落為零，與 DQPT 能量門檻的對應溫度精確吻合。

　　論文審慎地指出，這是兩種現象在同一溫度上各自發生「實質性的變化」，強調的是高度定量的對應關係，而非因果關係。不過這個精確的數值吻合本身，就已經是一條值得繼續探究的物理線索。同時，論文也坦承，弦關聯子並非 DQPT 普遍適用的指標，在臨界相的淬火中，它在所有溫度下均為零，無法發揮相同的作用。這說明動態與平衡之間的深層關係，還有許多面貌有待釐清。
　　這項研究告訴我們，量子系統的動態突變，藏著比我們以為的更豐富的物理資訊。它不只取決於系統被推向哪裡，初態攜帶的能量才是真正的決定因素，甚至在某些情況下，這個能量門檻精確地映照出有限溫度下熱平衡相圖的結構。

參考文獻
[1] M. C. Bañuls, K. Cichy, H.-T. Hung, Y.-J. Kao, C.-J. D. Lin, and A. Singh, "Dynamical quantum phase transition and thermal equilibrium in the lattice Thirring model," Phys. Rev. Research 7, 023194 (2025). DOI: 10.1103/PhysRevResearch.7.023194
[2] M. Heyl, A. Polkovnikov, and S. Kehrein, Dynamical quantum phase transitions in the transverse-field Ising model, Phys. Rev. Lett. 110, 135704 (2013). DOI: 10.1103/PhysRevLett.110.135704