撰稿 / 王姿月 研究員（中央研究院數學研究所）
Diophantine幾何與Diophantine逼近一直是數論中的核心領域。自1980年代以來，Lang與Osgood首先觀察到Diophantine幾何與複幾何之間的驚人相似性；Vojta更進一步發展出兩者之間的對應「字典」，系統性地揭示其深層聯繫。
在複變函數論中，Picard定理指出：任一非常數的全純函數(entire function)的值域只能是整個複平面 (ℂ)，或是複平面扣掉至多一點；例如，指數函數的值域正是複數平面去除零點。這樣的現象在複幾何中對應到Green–Griffiths–Lang (GGL)猜想的特例。簡而言之，GGL猜想預測：若一個代數variety是log general type，則其上所有從複平面到此variety的全純曲線都必須是代數退化的。
在數論中，GGL猜想的對應版本是Lang–Vojta猜想：若一個variety是log general type，則其整數點（或有理點）應該代數退化。然而，數論上的進展遠不如複幾何。舉例而言，至今仍未能證明ℙ²去掉一條二次曲線與兩條直線之整數點是否退化。
在這些理論的對應之中，曲線上的函數體元素既可視為從曲線映入variety的映射函數，也可視為variety上的有理點或整數點，因此其研究自然成為當代數論與幾何的交匯核心。
中央研究院數學研究所王姿月研究員與其合作者在複變函數論中建立了一個GCD(greatest common divisors)定理，並以此為基礎，大幅推廣Corvaja-Zannier的GCD方法，並成功應用於Green–Griffiths–Lang猜想（複幾何）及廣義abc猜想（值分佈理論）。與傳統的複幾何工具不同，該方法以代數技巧為主，不僅能推廣現有成果，更可明確刻劃GGL猜想中需排除的代數集合——這是複幾何中極具挑戰性的一環。此外，他們亦證明了函數體情形下ℙⁿ去掉n+1個不可約超平面的Lang–Vojta猜想及其對應的廣義abc猜想。這套方法不僅建立了新的理論結果，也為該領域提供了嶄新的研究視角。
相關研究成果已發表於《Journal für die reine und angewandte Mathematik》(Crelle’s Journal)、《Transactions of the American Mathematical Society》、《Journal of the London Mathematical Society》、《Advances in Mathematics》、以及《Algebraic Geometry》等重要期刊。
延伸閱讀
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[4] Guo, J., Nguyen, K. D., Sun, C. L., & Wang, J. T. Y. (2025). Vojta's abc conjecture for algebraic tori and applications over function fields. Advances in Mathematics, 476, 110358.
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