撰稿 / 陳昰宇 助理教授 (國立清華大學數學系)
從巴爾賽問題到Deligne猜想
巴塞爾問題是由義大利數學家Mengoli於1644年提出的著名數論問題，其內容為求出所有正整數的倒數平方和。這個問題在十八世紀上半葉由Euler解決，提出答案是\(π^2 \over 6\)後，Euler更進一步給出了所有正整數倒數2n次方和的值，結果總是π2n的有理數倍。更一般地，我們可以考慮所有正整數倒數s次方和，這就是所謂的ζ-函數ζ(s)。從函數論的角度看，Euler的結果正是對ζ-函數特殊值的研究。進入十九世紀後，ζ-函數被Dirichlet進一步推廣，定義了Dirichlet L-函數，並藉由它在s=1非零的性質證明了算術數列中有無窮多個質數。而後有Dedekind、Hecke、Kronecker、Siegel等數學家對Dirichlet L-函數的研究及其推廣。這個時期的代表性成就之一是Hecke L-函數跟類體論（class field theory）的結合。
從近代數論的觀點來看，Hecke L-函數就是GL(1)上的自守（automorphic）L-函數。二十世紀前半葉，Hecke進一步研究了模形式（modular form）的L-函數的解析性質，而後有Manin、志村等數學家對於這些L-函數特殊值的算術性的工作；這些是GL(2)上的自守（automorphic）L-函數。1970年代，志村對L-函數特殊值代數性的研究取得了一系列成果，其中包括了有複乘（complex multiplication）的Hecke L-函數及Hilbert模形式的L-函數。基於上述工作的發展，Deligne（1978 年菲爾茲獎得主）於1977年Corvallis會議上提出了以下著名猜想：所有母題（motive）的L-函數，其臨界值（critical value）的代數性都可以用母題的週期（period）來表達。例如，在Euler的結果中，對應的週期是圓周率π；而在志村的結果中，複乘Hecke L-函數的週期則來自某些阿貝爾簇（abelian variety）上的週期積分。
Deligne猜想的近年突破
對於秩（rank）為1的母題（其L-函數對應於Hecke L-函數），Deligne猜想一直到近五年才被完全解決。然而對於一般情況的Deligne猜想，我們所知仍然十分有限。作為高秩母題的例子，Deligne考慮了以下情況：給定一個模形式的母題（秩為2），取其第n次對稱冪（symmetric n-th power），便得到一個秩為n+1的母題，其L-函數稱為模形式的n次對稱冪L-函數。這個情況的Deligne猜想，在隨後的四十年間，進展僅限於n =1（Manin、志村）、n=2（Sturm、Zagier）、以及n =3（Garrett–Harris）的情形。一直到2020年森本的突破，證明了n=4與n=6的情況。
近期，國立清華大學陳昰宇助理教授的研究成果在此方向上取得了新的突破：他證明了對於權（weight）不小於5的模形式，其任意次對稱冪L-函數的Deligne猜想均成立。此前對L-函數特殊值代數性的研究，多依賴於L-函數的積分表達式；然而對於一般高秩L-函數，例如高次對稱冪L-函數，文獻上並無可用的積分表示。
陳教授突破了這一限制，提出了\(GL(n)×GL(n')\)的自守L-函數（Rankin–Selberg L-函數）的交比公式（cross-ratio formula）猜想：給定四個代數的自守表示，考慮其 Rankin–Selberg L-函數的交比，在某些相容性條件下，這些交比的臨界值應為代數數。這一猜想的提出基於Deligne猜想以及Clozel–Langlands猜想（代數的自守表示與母題的對應）。陳教授進一步證明了交比公式在某些正則性條件下成立；作為應用，他證明了若干L-函數的Deligne猜想，例如模形式的對稱冪L-函數與模形式的張量積L-函數（Blasius 猜想）。隨著交比公式的引入，預期將有更多關於自守或母題L-函數臨界值代數性的結果出現。
