完備黎曼流形滿足加權龐加萊不等式突破閔可夫斯基不等式的凸性限制

撰稿 / 張鳳吟 (科學推展中心特約編輯)

審訂 / 宋瓊珠教授 (國立清華大學數學系)

在數學上有各樣重要意義的不等式(inequality)。一個經典的例子是在凸幾何中的閔可夫斯基不等式(Minkowski inequality)，由數學家閔可夫斯基(Hermann Minkowski) 提出。此不等式用以描述歐幾里得空間凸體(convex bodies)之間的混合體積(mixed volume)與各別凸體體積之間的關係。後與Brunn並稱為Brunn-Minkowski不等式。數學上，閔可夫斯基不等式的應用廣泛，在泛函分析、幾何、機率、代數、物理 (特別是廣義相對論) 等都扮演重要角色。

原始的閔可夫斯基不等式建立在凸性的假設上，說明有界凸域的體積為其邊界平均曲率積分所界定。在幾何裡，當點的集合內部兩點之間線段都包含在該集合裡，我們稱這個集合為凸(convex)的。近年來，數學家們致力於將閔可夫斯基不等式推廣至其它空間，例如黎曼流形(Riemann manifold)等。2021-2022年，Agostiniani、Fogagnolo 與 Mazzieri證明一個不需凸性(convexity) 假設的閔可夫斯基不等式。而後Benatti、Fogagnolo和Mazzieri將其推廣至一類非負Ricci曲率的完備(complete)黎曼流形上。在更近期的2023年，Munteanu與 Wang建立了一個對完備流形中所有有界光滑域不需凸性假設的閔可夫斯基不等式，流形底譜為正，大於其Ricci曲率的下界。

清華大學數學系宋瓊珠教授近年來研究完備黎曼流形的多種課題。受Munteanu與 Wang工作的啟發，近期她與邱維毅博士考慮流形滿足加權龐加萊不等式(weighted Poincaré inequality)，且Ricci曲率有負值下界的情形。利用權重函數作一個巧妙的共形變換，他們證明了無需凸性假設的體積形式(volumetric)閔可夫斯基不等式，並且作為應用證明該

形上不存在任何嵌入緊緻極小曲面。這些流形的範例亦包含了具正底譜及具非負Ricci曲率的完備流形，因此統一了Benatti、Fogagnolo、Mazzieri與Munteanu、 Wang的結果。宋瓊珠教授與邱博士的優異成果，發表在《幾何分析期刊》(The Journal of Geometric Analysis)[1]。

具體來說，古典體積形式的閔可夫斯基不等式可表述為

\(\operatorname{Vol}(\Omega) \leq c(n) \left( \int_{\Sigma} H \right)^{\frac{n}{n-2}}\)

其中\(\Omega \subset \mathbb{R}^n,\quad n \geq 3\)為有界凸域，\(\operatorname{Vol}(\Omega)\)為\(\Omega\)體積，H為其光滑邊界Σ的平均曲率，c(n)為精確常數，且由\(\Omega\)為球時決定。受Munteanu與Wang結果的啟發，宋瓊珠教授團隊考慮滿足加權龐加萊不等式的完備黎曼流形\((M^n, g)\)，其中加權函數ρ(x)滿足合適的增長性條件。

宋瓊珠教授團隊證明當Ricci 曲率\(\mathrm{Ric} \geq -(n - 1)\rho(x)\)，的閔可夫斯基不等式：

對於\(n \geq 5\)，存在一常數𝐶，

\((2n - 3) \int_{\Omega} \rho \, dV \leq \int_{\partial \Omega} |H|^{\frac{2n - 3}{n - 1}} + C_1 \, \rho^{-1/2} \, dV\)

H為∂Ω 的平均曲率。對於n=4 ,存在另一常數C 使得

\(C \int_{\Omega} \rho \, dV \leq \int_{\partial \Omega} |H|^{5/3} \, \rho^{-1/2} \, dV\)

同時當 \(n \geq 5\)，團隊亦證明完備流形M 不包含嵌入的緊緻最小曲面。