採訪 / 許至雅 (科學推展中心執行編輯)．撰稿 / 鄭懋奇 (科學推展中心特約編輯)

審訂 /  黃信元 教授（國立陽明交通大學應用數學系）

陽明交大應數(前)系主任黃信元，昔日是臺大橄欖球校隊。在球場上越挫越勇的毅力，後轉化為他對研究的信念——「無畏面對挑戰」。鑽研非線性偏微分方程的過程，充滿了濃霧覆蓋般的不確定感，難以找到清晰的答案，唯有持續滾動修正。這樣的過程如橄欖球賽，在比賽中多次嘗試、經歷受挫，轉換視角和方向，直到發現突破的路徑，終能達陣。彷彿那句充滿力量的歌聲始終唱著：「 We shall overcome. 」
 

晴耕雨讀，受恩師啟發的理想生活
　　就讀碩士班的時候，黃信元就將「在大學教書與研究」視為他心目中的夢幻工作。「晴耕雨讀」——充滿數學邏輯運算的腦袋，嚮往的卻是文學意境的浪漫。在美國取得博士學位後，他如願成為大學教授；面對充滿挑戰的研究工作，他豁達地說：「沒有工作是輕鬆的，自己喜歡做，就不覺得辛苦。」這也是他在學術路上堅持不懈的最大動力。
　　從心生嚮往、樂在其中到持續精進，黃信元對研究的態度深受過往恩師的啟發。就讀臺大期間，張海潮與林紹雄兩位老師令他格外景仰。張海潮老師對數學與橄欖球的推廣皆抱持高度熱情，在教學與研究之餘，不僅額外撰寫數學科普文章，更身兼大學教授與球隊教練的雙重身分，照顧橄欖球隊隊員的學業、球技並張羅經費。在黃信元眼裡，這樣的生活豐富又充滿意思。
　　林紹雄老師則是他就讀臺大碩士班的指導教授，黃信元表示，他總在課堂上感受到老師對教學內容的熱情；下課後若前往研究室拜訪，多數時間看到的也都是老師閱讀論文或書籍的身影，足見其對數學研究的全然投入。張老師的熱血與林老師的專注，形塑出黃信元追求的職涯輪廓。如今他的確在研究工作上屢獲肯定，生活中也持續保有興趣，實踐了當年自己的嚮往。
 

挫折淬煉韌性，數學是讀懂未知的能力
　　回頭看 18 歲、剛進入數學系就讀的時期，黃信元坦言：「數學的嚴謹與高度抽象，的確會讓人懷疑自己的天賦與選擇。」探索學問的常態是煎熬，挫折幾乎貫穿整個學術生涯。但也正因如此，經歷過數學系的訓練，往往能培養出獨特的韌性；不僅具備閱讀抽象符號的能力，日後面臨現實世界中的複雜問題時，也較不易因畏懼而輕言放棄。
　　將抽象概念與實際應用對接，進而培養出「自主建構知識」的能力，是黃信元期待學生帶走的實力。目前廣泛應用於 AI 影像生成的擴散模型，其數學基礎與古典的擴散理論密切相關。模型先透過隨機微分方程逐步加入雜訊，使複雜的影像資料分布逐漸平滑化，最後接近簡單的高斯分布。相應的機率密度演化，則由  Fokker–Planck 方程描述。接著，神經網路學習各個時刻的對數機率密度梯度，掌握樣本朝向高機率區域移動的方向。生成影像時，再利用反向隨機微分方程，從隨機雜訊逐步產生符合原始資料分布的新影像。由此可見，現代人工智慧的耀眼成果，背後仍深深植根於機率論、微分方程與數值分析等經典數學思想。 
　　另一個例子，是機器學習模型的訓練。訓練 AI，首先必須把「做得好不好」轉化為可以計算的損失函數，再運用微積分與最佳化方法，根據每一次運算結果調整模型參數。經過大量反覆比較與修正，模型才逐漸具備辨識、預測與生成的能力。這也顯示，數學不只是描述世界的語言，更能把抽象目標轉化為具體、可執行的計算程序。 
　　從影像生成到模型訓練，數學看似抽象，卻能從複雜現象中找出事物運作的規律。掌握這套語言，即使面對陌生領域，我們也能逐步讀懂其結構，進而理解、分析並運用其中的原理。 

非線性偏微分方程，濃霧裡辨認雕像
　　黃信元的主要研究領域是微分方程。若要用一句話來解釋這門學問，他表示：「微分方程是從大自然的簡單局部規則中，推導出複雜整體行為的過程。」最早、最具代表性的例子，是天體力學中的 N 體問題。
　　當系統中只有兩個天體，我們能精確求出它們的軌道；然而一旦加入第三個天體，彼此之間的交互作用便可能產生極其複雜的行為，通常無法再用簡單公式完整描述。牛頓正是從萬有引力與天體位置之間的關係出發，建立了一組非線性微分方程，用以描述多個星體如何隨時間運動，也從這裡延伸出許多有趣的數學研究方向。
　　而偏微分方程，探討的則是遍布整個空間的連續介質現象，例如水波如何傳播、熱量如何擴散、空氣如何流動，以及化學或生物系統如何形成斑紋。至於非線性偏微分方程，黃信元將研究過程生動地比喻為「隔著濃霧辨認一座雕像」——雖然看不清每一個細節，但仍希望確認雕像是否光滑？有沒有破碎的片段？以及雕像隨著時間推移，會變成什麼樣的形狀。面對這類複雜系統，數學家多數時候無法求得一條直接且漂亮的公式解答；卻能建立一套方法，證明他們對「方程式的解」的整體判斷可靠。
 

達陣前的迂迴，突破十年計算瓶頸
　　近五年來，黃信元聚焦於研究非線性演化偏微分方程。他與臺大數學系的林長壽教授團隊，近期在曲率方程的「拓撲度」（Leray-Schauder degree）中得到了新的公式。
　　其實早在十多年前，林長壽教授團隊就已經找出了拓撲度的計算公式，並發現這個公式的結果與在黎曼曲面上建構出一個具有指定高斯曲率及指定錐角的共形度量有關      。但當時必須將錐角的數值一個一個代入生成函數檢驗，才能確認拓撲度是否為零，藉此判斷有沒有解。
　　近年黃信元與林教授重新審視該問題，並成功對錐角進行系統性分類，在部分是非整數的錐角時，可以得到拓撲度的簡潔公式進而判定方程式解的存在， 是一項極為重要的突破。
　　黃信元認為，研究就像一場橄欖球比賽，需要不斷調整方向才能往前；這個新發現的公式正是最好的例子。最初只是林教授的研究直覺，兩人在討論中一時難有突破；直到某個夜晚，黃信元搭乘客運從台北返回新竹，忽然跳脫原有的思考軸線，想到了另一條切入路徑。經過幾個月的反覆計算，這懸宕多年的數學難題終於明朗。
 

微光照亮感動，再難也不放棄
　　黃信元是 2021 年吳大猷先生紀念獎得主，2026 年又獲頒傑出研究獎。接下系主任一職後，他承擔了更多責任，從規劃系所發展到回應同仁與學生的期盼，這些歷練讓他增長了許多行政協調能力。這五年間，他對研究的看法也有些許轉變；隨著與年輕學者展開合作，並開始培養博士生，他認為自己需要具備更大的框架與視野，去嘗試投身不同方向並主導研究。
　　未來十年，他感興趣的研究方向包含兩大主軸。一是探究「可積系統」中的 Riemann-Hilbert 方法，這類方程式擁有獨特的內在結構，能將非線性方程轉換成相對應的線性系統來求解，藉此得到解隨著一些特定參數(如時間)的漸近行為。二是引入「電腦輔助計算與證明」，有別於傳統仰賴紙筆推導，他計畫先讓電腦算出數值近似解，再結合區間算術與不動點定理，反過來證明這個解確實存在。這項方法能突破人腦處理龐大方程組的極限，也拓寬了他未來數學研究的邊界。
　　在研究的道路上，他仍希望自己不忘初衷——數學領域之難，雖讓人免不了自我懷疑，但只要看見突破的光芒，哪怕再微小、再短暫，都足以支撐著他繼續前行。「記住這份感動，並勇敢探索未知的領域。」最後，他將這句祝福送給自己，也送給每一位渴望投入數學研究的人。