撰稿 / 張鳳吟（科學推展中心特約編輯）
在數學裡，由有限多個元素組成的群稱為有限群，有限群的不可約表現理論在代數相關領域一直受到相當的重視，除了數論與自守型式(automorphic forms)的研究外，在其它自然科學如物理、化學等領域亦扮演重要角色。
有限群和對稱性息息相關，潘戍衍教授專注於李型有限群(finite groups of Lie type) 的研究。李型有限群分為一般線性群(與酉群)、奇正交群、辛群、偶正交群等四種型態的古典群與其它五個例外群，1976年，麻省理工學院G. Lusztig教授與比利時數學家 P. Deligne證明利用l進數同調可構造李型有限群的表現，而後1980年代Lusztig依此建立了李型有限群的特徵標理論(character theory)，他的結果現在被統稱為李型有限群不可約表現的Lusztig分類, 其中的主要核心為 Lusztig對應關係與以組合物件來對所有冪單表現 (unipotent representation) 做參數化。
另一方面，在70年代，耶魯大學R. Howe教授提出由兩個古典群形成可化約配對( reductive dual pair )的概念，這兩個古典群在一個辛群中互為中心化子。藉由一個有限辛群的Weil表現，Howe定義了一組可化約配對當中兩個古典群不可約表現的對應關係，這個對應關係被稱為「有限theta對應」或者「Howe對偶性」，關於有限theta對應關係的研究一直是古典群表現理論的一個重要課題。可化約配對的組成一般可分成三類：兩個一般線性群、兩個酉群、及一個辛群與一個正交群。前兩類的theta對應關係，由三位法國數學家Aubert、Michel、Rouquier於90年代解決，三人也對第三類辛群與正交群的配對提出一個猜想。然而，和一般線性群或酉群的情況不同，絕大多數辛群或正交群的不可約特徵標不是Deligne-Lusztig表現的線性組合(即非uniform)，因此研究其對應關係有複雜性及困難度。
111年度國科會傑出研究獎及2024年中技社數學學術獎得主清華大學數學系潘戍衍教授，近期成功利用Lusztig分類完整並明確地描述由辛群與正交群組成的可化約配對不可約表現的theta對應關係，因此證明了Aubert-Michel-Rouquier的猜想，這在有限可化約群的表現理論是個重要的突破。潘教授將此項工作寫成一系列三篇文章，分別發表在《數學進展》(Advances in Mathematics)、《數學現況》(Mathematische Annalen)、及《美國數學期刊》(American Journal of Mathematics)三個重要的數學期刊[1-3]，論文中潘教授先探討辛群/正交群有限可化約配對的Weil特徵標之uniform projection的分解，接著證明Howe對應關係與Lusztig對應關係之間的可交換性，說明Howe對應關係可用Lusztig的古典群參數化描述，最後以Lusztig參數化描述冪單特徵標的Howe對應關係，證明Aubert-Michel-Rouquier猜想。
潘戍衍教授表示，辛群/正交群可化約配對的theta對應最為複雜也最有趣，並可以應用到高能物理的保角場論 (conformal field theory) 與量子編碼理論上。他也表示，他一開始是研究比較接近數論的p-adic theta對應，近期逐漸轉到有限的theta 對應，對於能成功利用Lusztig在有限古典群的重要結果，得到有限的theta 對應的完整描述，對此成果他感到非常開心。
參考文獻
[1] Pan, Shu-Yen, “Uniform projection of the Weil character.” Adv. Math. 381 (2021),107624.
[2] Pan, Shu-Yen, “Lusztig correspondence and Howe correspondence for finite reductive dual pairs.” Math. Ann. 390, 4657–4699 (2024).
[3] Pan, Shu-Yen “Howe correspondence of unipotent characters for a finite symplectic/even-orthogonal dual pair.” Amer. J. Math. 146 (2024), no. 3, 813–869
