撰稿 / 張鳳吟 (科學推展中心特約編輯)
時空模式（spatio-temporal patterns）包括行進波（travelling waves）跟螺旋波（spiral waves）等，是隨時間流動在空間中呈現的結構性規律，大自然中隨處可見，可用來描述諸如心臟跳動、生態演化及拓樸相變等現象。關於時空模式的描述與理解是重要且基本的問題。數學上，時空模式常對應於偏微分方程的相對均衡解（relative equilibria），其存在性的證明和穩定性分析是經典的研究課題。若時空模式具有穩定性（stability），則它能承受實驗環境或數值模擬中的擾動或誤差，因此可被觀測到；反之，若時空模式不穩定，則雖然在理論上存在，但難以被觀測。
為了解決難以觀測的挑戰，國家理論科學研究中心2022年輕理論學者獎得主，國立清華大學數學系戴佳原助理教授，與其國際合作者採用反饋控制（feedback control）方法，在方程式中引進時空延遲（spatio-temporal delays）的控制項來穩定化（stabilize）時空模式。在反饋控制中引入時間延遲的想法可追溯自Kestutis Pyragas於1992年的工作，而後戴教授的合作者Isabelle Schneider博士於2017年擴展成時空延遲的控制項。此類控制方法的關鍵是具有非侵入性（noninvasiveness），亦即保持時空模式的存在，但能改變其穩定性 ― 從不穩定變為穩定 ― 因此，反饋控制的穩定化擴展了可觀測的時間模式範疇，為未來的技術應用提供新的研究對象。戴教授的團隊成功以反饋控制來穩定化Ginzburg-Landau方程式的螺旋波，近期則提出新的反饋控制方法穩定化Chafee-Infante方程式的所有均衡解，其新穎結果分別發表於國際知名期刊《Archive for Rational Mechanics and Analysis》（ARMA）[1]及《Chaos》[2]上。
Ginzburg-Landau方程式在物理中應用廣泛，其由蘇聯物理學家Vitaly Ginzburg與Lev Landau於1950年代提出，最初用以描述超導體的相變行為。戴教授研究該方程式在有界旋轉面M（如圓面和球面）上的螺旋波（如圖1），他在過去的研究中，首先利用分歧（bifurcation）理論證明許多螺旋波的存在；接著利用射擊法（shooting method）證明多數螺旋波並不穩定，特別是多旋臂的螺旋波；最後透過反饋控制來穩定化原先不穩定的螺旋波。
具體言之，考慮旋轉面 上的Ginzburg-Landau方程式：
\(\partial_t \Psi = (1 + i \eta) \Delta_M \Psi + \lambda (1 - |\Psi|^2 - i \beta |\Psi|^2) \Psi,\) (1)
其中ΔM為旋轉面上的Laplace-Beltrami算子，η∈R為擴散係數，λ>0為分歧參數，β∈R為動力學參數，而Ψ為未知複函數。方程式(1)加入非侵入性的控制項：
\(\partial _{t} \Psi (1+i \eta )\Delta _{M}\Psi +\lambda (1-\left| \Psi \right|^2-i \beta \left| \Psi \right| ^{2}) \Psi + b(\Psi - C_{(h,\tau ,g)} [\Psi ]),\) (2)
其中b(Ψ–C(h,τ,g)[Ψ])為控制項，b∈R為反饋係數，控制算子C(h,τ,g)[Ψ](t,x)定義為C(h,τ,g)[Ψ](t,x):=hΨ(t−τ,gx)，乘法因子h、時間延遲τ、空間位移g三者刻劃此控制算子，稱「控制三元數」（control triple）。戴教授的團隊根據螺旋波的時空對稱性（包括旋轉對稱性和旋臂的數目）來設計具有非侵入性的控制項，首度成功地選擇性地穩定化振幅變號最多一次的多旋臂螺旋波。
