在881號教室,一行人面對了不知所謂的三角函數題目,提示只有黑板上的音符,以及不斷播送的重複音樂。難道有數學藏在音樂裡?
音樂與數學
發表者 MRPC
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題目內容
提示一:黑板上的提示
提示二:重複播放的音樂(其中X為雜訊)
數學原理
音樂其實和數學的關係比大家想像的更密切。這邊是解這題需要的一些知識:
- 音高對應的是物體震動的頻率,亦對應三角函數的頻率。舉例來說,A4(中央A)的頻率是440赫茲,因此如果你把Sin(2πt×440 )的函數圖形當成聲波叫電腦撥出來,你真的會聽到A4的音高。
- 音樂上「高八度」其實就是頻率「變兩倍」。舉例來說,上面說A4的頻率是440赫茲,那比它再高一個八度的A5就會是880赫茲。
- 更進一步地,音樂上「高半音」其實就是頻率「變21/12倍」。這是因為一個八度剛好包含12顆半音,所以連續12次「變21/12倍」剛好就是「變兩倍」。
解題過程
首先,把提示二的音,依據提示一的數字編碼,就會變成這樣:
很明顯地,這是圓周率,而圓周率的前幾個位數是:
因此我們知道X的位置是5,對應回提示一裡的五線譜就是E5這顆音。因此,Sin(2πt×_ _ _ ._ )裡要填的,就會是E5的頻率。
剩下的問題就是E5的頻率是多少。米珊有記得A4的頻率是440,而E5跟A4差了7個半音,因此由前面的性質,我們知道E5的頻率是