【研究成果】傳播速度有限或無限  探討相對論波茲曼方程之有限傳播速度問題

by Yang-Kuang Chao
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撰稿  /  張鳳吟 (科學推展中心特約編輯)


波茲曼方程在氣體動力學中是非常重要的方程式,它於1872年由奧地利物理學家路德維希•波茲曼(Lidwig Boltzmann,1844-1906) 所提出,其中未知量f(x,v,t)是粒子在位置速度相空間(x,v)與時間t的機率密度函數,而方程式本身描述粒子位置和速度機率分布如何在相空間中隨時間和空間變化。

古典的波茲曼方程形式如下:

\(∂f/∂t+v∙∇_x f=Q(f,f)\)

其中等式右邊是波茲曼在1872年所引入的碰撞項,描繪兩粒子間的碰撞情形,依據其碰撞狀態,可分為硬球(hard sphere)、硬勢(hard potential)及軟勢(soft potential )。由於波茲曼碰撞算子具有奇異點(singularity),為了避免分析上的困難,美國數學家Harold Grad於1963年引進一個「截斷(cut off)」來修改碰撞算子,這個Grad截斷後來被數學界廣泛接受,並影響了波茲曼方程幾十年來的研究進展。

波茲曼方程具有穩態解,在穩態解附近的行為是波茲曼方程的其中一個研究課題。利用微擾的方式,可將方程式分為線性與非線性的部分,一般而言,非線性部分衰減得比線性部分快,去除掉非線性項,就能得到線性的波茲曼方程。在過去,著名的德國數學家D. Hilbert於1912年曾針對線性化波茲曼方程,將解對小的Kundsen數做漸進展開,而1963年Grad截斷被提出並得到硬勢碰撞的譜(spectrum)結構後,1974年日本數學家Seiji Ukai運用譜的結果做出非線性波茲曼方程在穩態附近的適定性 (well-posedness) 。

成大數學系吳恭儉教授長期以來關注波茲曼方程、藍道(Landau)方程等動力學方程式的時空問題與行為。近期吳教授團隊跳脫以往由線性方程結構疊代非線性方程結構的框架,發展出對波茲曼方程直接加權估計的方式,成功得出硬勢與部分軟勢碰撞的時空[1]。研究團隊也探討當粒子速度接近光速時,相對論波茲曼方程與藍道方程的有限速度行為[2][3]。

相對論波茲曼方程

古典波茲曼方程式討論的是粒子速度v遠小於光速的情形,當粒子速度接近光速時,相對論效應便不可忽略。假設光速c= 1,粒子靜止質量m0 =1 ,相對論波茲曼方程可寫成

\(∂f/∂t+v/v_0 ∙∇_x f=Q_R (f,f)\)

其中x=(x1,x2,x3)為位置、v=(v1,v2,v3)為粒子動量,\(v_0≡\)\((1+|v|^2)\)1/2為羅倫茲因子(Lorentz factor),而QR(f,f)為相對論性的碰撞算子。當QR(f,f)考慮到帶電粒子之間的庫倫交互作用,上述方程式便為相對論藍道方程。

相對論波茲曼方程的數學發展相較於古典波茲曼方程,歷史並不長,過去幾位學者已針對相對論波茲曼方程進行各方面的研究。舉幾個例子:Dudy´nski與Ekiel-Jezewska研究線性化相對論波茲曼方程,得到硬勢完整的譜結構;楊彤與喻洪俊在2010年利用補償函數方法(compensating function method)得到相對論波茲曼方程在馬克斯威爾分布附近的整體解及長時間的行為。

不過,過去研究大多專注在相對論性動力學方程式的適定性與長時間的漸進行為,吳恭儉教授團隊注意到相對論波茲曼方程具有限的傳播速度(小於光速c=1),在數學上和古典的波茲曼方程(速度非有界)不同。基於這個觀察,吳教授團隊利用加權估計的方法,證明在初始值對於空間有compact support的情況下(對|x|≥1,f_0 (x,v)\(≡\)0),非線性相對論波茲曼方程的解僅會在一個時空座標形成的圓錐內傳播,而圓錐斜率靠近我們想要的傳播最大速度,團隊亦證明相對論性藍道方程式的解有相同的行為模式,這是一個完全異於古典的現象。

吳恭儉教授表示,他們藉由這個證明反映出相對論性動力學方程式與古典動力學方程式在本質上的不同。古典的動力學方程式如波茲曼、藍道或Fokker–Planck傳播部分的速度沒有上限,假如在初始數據x變數加入compact support,我們在古典的解中只會得到空間的衰減;而相同的初始條件下,相對論性動力學方程式的解在空間變數足夠大時會消失。吳教授也表示,團隊對動力學方程的空間漸進行為有相當清楚的刻畫,不過對於它們與流體力學方程的關聯,是他們仍須努力的目標。


參考文獻

[1] Y.C. Lin, M.J. Lyu, HT. Wang and K.C. Wu, Space-time behavior of the Boltzmann equation with soft potentials, J. Differential Equations, 322(2022), 180-236.

[2]  Y.C. Lin, M.J. Lyu and K.C. Wu, Relativistic Boltzmann equation: large time behavior and finite speed of propagation, SIAM J. Math. Anal.,52 (2020), 5994–6032.

[3] M.J. Lyu, B.Y. Sun and K.C. Wu, Finite Speed of Propagation of the Relativistic Landau and Boltzmann Equations,  J. Stat. Phys., 186, Article number: 13 (2022) .

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