【研究成果】Motivic不變量和雙有理映射

by Yang-Kuang Chao
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撰稿  /  郭家瑋 (科學推展中心特約編輯)


作為現代數學的一個重要分支,代數幾何的主要是透過研究仿射空間(多樣體)和射影空間(多樣體)來了解關於聯立多項式的公共零點集的幾何性質。 此類研究從古希臘就開始:如直線、圓、二次曲線、橢圓曲線和二次曲面等。十七、十八世紀, 座標系和解析幾何的發展自然的將代數幾何的研究轉化成代數問題。十九世紀,三次或更高次平面曲線的研究,射影幾何迅速發展和黎曼幾何的創立將幾何學從古典時期帶到現代時期。到了二十世紀,通過扎里斯基用代數方法將代數幾何抽象化、韋爾建立的有限體上的代數幾何、塞爾凝聚層的上同調理論和格羅滕迪克的概形理論,重新詮釋了代數幾何的問題並賦予它與微分多樣體和解析多樣體的研究相似的層理論,並給予了和算術問題連結的語言基礎。

作為主要的研究對象,代數多樣體的分類如雙有理等價下不變量的研究仍然是代數幾何裡的一個核心問題。 精確來說,兩個代數多樣體之間的映射稱為雙有理映射,如果它誘導有理函數域之間的同構。如果其中一個代數多樣體有一個稠密開集同構於另一個代數多樣體的一個稠密開集,則這兩個代數多樣體稱為雙有理等價。這條件也等價於兩個代數多樣體對應的有理函數體同構。因此,代數多樣體的分類常常可以歸結為對代數多樣體上對雙有理函數性質的研究。

當我們考慮射影空間\(P_k^n\)時,其中k為一個體,上面的雙有理自同態映射所形成的群即為Cremona群,我們把它表為\(Cr\left(P_k^n\right):=Bir\left(P_k^n\right)\)。作為最簡單代數多樣體的對稱群,Cremona群的性質反應了許多幾何性質。近一世紀,不論從代數幾何或是群論的角度,Cremona群的結構一直都是數學家關心的問題。然而仍有很多的問題處於未知狀況(尤其當維度\(n\geq3\)時)。

舉例來說,當維度\(n=2\)和k是一個代數封閉的體時,Cremona群\(Cr\left(P_k^2\right)\)可證明由其子群\({Aut}_k\left(P_k^2\right)={PGL}_3\left(k\right)\)和Cremona對合映射\(\left[X:Y:Z\right]\mapsto\left[YZ:XZ:XY\right]\)所生成。然而,當\(n\geq3\)維度時,情況要複雜許多。此時Cremona群\(Cr\left(P_k^n\right)\)可證明甚至無法只由子群\({PGL}_{n-1}\left(k\right)\)和在射影空間\(P_k^n\)上可數多個相異置換所生成。直到現在,數學家仍然無法決定其生成元和「尺寸」。

從另一個角度來思考,在Cremona群裡,有一類映射稱為可正規化映射,這類映射不但具有更為清楚的描述和性質,更重要的是包涵了所有在射影空間\(P_k^n\)開集上的正規映射和有限階的雙有理自同態映射。 因此,當維度\(n=2\)時,Cremona群\(Cr\left(P_k^2\right)\)將由可正規化映射所生成。因而,一個自然的問題便是:當維度\(n\geq3\)時,Cremona群是否可由可正規化映射所生成?

林學庸教授和其合作者給出了在多數情況下對於此問題更一般性的否定答案:Cremona群在下列任一種條件下,皆不能由半可正規化映射所生成。
(i) 當維度\(n\geq3\),k是數體、佈於數體的函數體、有限體或是代數封閉的體。
(ii) 當維度\(n\geq4\), k是複體C下任意的子體。
(iii)當維度\(n\geq5\)時,k是任意的無限體。
他們用的方法是雙有理映射的motivic不變量(在代數多樣體上的格羅滕迪克環的意義之下)。當X是一個佈於體k的代數多樣體時,此不變量為群同態

\(c:Bir\left(X\right)\rightarrow Z\)[\({Bir}_{n-1}\)/\(k\)],

其中[\({Bir}_{n-1}\)/\(k\)]表為佈於k上的\(n-1\)維代數多樣體的雙有理等價類。 在上述不同的條件之下,他們運用了不同維度的幾何性質包含虧格為一的代數曲線、K3曲面和Calabi-Yau三維流形和近一步的分析。 他們證明了當\(X=P^n\)時,c在上述情況下是非顯然但在其他的半可正規化映射上的取值為零。由於c的非顯然性,他們可以構造出無窮多個同態\({Cr}_n\left(k\right)\rightarrow Z\)。此結果同時也給出了Cremona群不是簡單群的一個新的解釋。 由於此突破性的工作,他們的文章刊登在頂級雜誌《數學年刊》上。

另一方面,作為複流形意義底下射影流形的一個自然推廣,林教授致力於Kähler流形的研究。在其上對應的形變、映射、動態系統、代數性和代數圈問題都有豐碩的成果。 其中一個重要的結果是證明了小平邦彥提出的在三維情況下Kähler流形的形變問題: 每一個緊緻的三維Kähler流形都可以形變成一個射影流形。 此工作最後發表在優質雜誌《杜克數學期刊》上。

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