【研究成果】電阻抗斷層掃描反問題與多層結構穩定性評估

撰稿  /  張鳳吟 (科學推展中心特約編輯)

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反問題(inverse problem)相對於正問題(forward problem)，是一個倒果為因的計算過程：正問題從原因預測結果，而反問題是從已知的觀測結果推論產生它的未知原因。由於反問題可以告訴我們無法直接觀察的未知參數，它在數學及科學上是相當重要的課題，並且應用廣泛，像是系統識別、光學、雷達、醫學影像、地質探測、天文學、海洋學、訊號處理等等，都屬於反問題的範疇。電腦斷層掃描(Computed Tomography，CT)及磁振造影(Magnetic Resonance Imaging，MRI)便是兩個應用反問題的醫學影像例子，它們分別利用X射線與體內氫原子和磁場共振的資訊，以演算法重構人體內部組織的影像，也因此獲得1979年與2003年的諾貝爾生醫獎。

電阻抗斷層掃描(Electrical Impedance Tomography，EIT)，是另一種新型的醫學影像技術，1970年代開始用於生醫方面，其原理是在人體表面放置電極，施加微弱電流或電壓，從電極測得的電壓與電流響應，重建人體內部的電阻(電導率)分布以觀察其生理及病理的變化。相較於傳統醫學影像設備，EIT具備低成本、無輻射、靈活性、操作簡單等優點，近年來不管是理論或技術都有許多進展。在數學上，EIT可表示成由介質邊界所測得之電訊號決定介質電性的反問題，這個問題也稱為Calderὸn問題。設Ω為具有光滑邊界的有界開區域，根據靜電學，方程式可寫成：

其中\(u\)為電位、\(f\)為電壓，\(\gamma\left(x\right)>0\)為未知的電導率。這個偏微分的邊界值問題，給定適當的邊界值\(f\)，存在唯一解\(u\)，所以我們可以取\(u\)在邊界上的外方向導數\(\left.\ \gamma\left(x\right)\frac{\partial u}{\partial\nu}\right|_{\partial\Omega}\)，\(\nu\)為邊界單位法線向量。我們就得到一個映射\(\Lambda_\gamma:f\rightarrow\ \left.\gamma\left(x\right)\frac{\partial u}{\partial\nu}\right|_{\partial\Omega}\ \)，這個映射在數學上稱為Dirichlet-to-Neumann map，物理意義上是從電壓到電流的映射，Calderὸn問題或是EIT的數學問題便是從\(\Lambda_\gamma\)決定\(\gamma\left(x\right)\)。

不過，反問題大多是非良質或病態的(ill-posed)，即不滿足法國數學家Hadamard所提出的適定性條件：解存在、唯一、且解連續依賴於方程參數(即解是穩定的)。只要上述任何一項不滿足，這個問題便是一個非良質問題。EIT反問題的唯一性已在1987年由 Sylvester 與 Uhlmann證明，但EIT的致命傷是\(\Lambda_\gamma\rightarrow\ \gamma\)是不穩定的，測量值的小誤差會導致重構的\(\gamma\)誤差過大，這是目前EIT邁向實用發展的一大挑戰。義大利數學家Alessandrini 在1988年曾對EIT反問題做穩定性評估：在具有適當平滑導電率中，如果測量誤差為\(\varepsilon\)，，\(\omega\left(t\right)\le\left|\log{\left(t\right)}\right|^{-\eta},\ \ \eta\in(0,1)\)，這是對數型的。Mandache證明對數穩定性評估在Calderὸn問題是最佳的。

今年第66屆教育部學術獎得主，臺大應用數學科學所王振男教授，長期以來致力於各式偏微分方程的反問題，也是國內外知名的反問題專家。王教授與團隊近期研究EIT的穩定性問題[1-2]，他們考慮多層結構的導電率函數，建立於先前處理雙層的結果[3]，團隊先從三層不同電導率組成的問題出發，再推廣至多層問題。團隊推導出依據厚度及電導率，各層線性化映射的穩定性評估，團隊證明，如果中間層的電導率較高，包覆電導率較低的介質，問題的不適定性(穩定性)會惡化，這和從最小作用量原理，電流將採取高導電層的路徑而不進到低導電層的直觀一致。

EIT的穩定性問題是目前此技術最大的挑戰，實驗學家為此發展出混合式方法來彌補其不足，例如磁共振電阻抗造影(Magnetic Resonance Electrical Impedance Tomography，MREIT )等等。王振男教授曾在一場演講中表示，過去CT與MRI已為醫學影像領域拿下兩座諾貝爾獎，未來如果EIT的不穩定性問題能獲解決，使得重構的影像解析度增加，也許可為醫學影像領域再添增一座諾貝爾獎。

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參考文獻

[1] Haigang Li, Jenn-Nan Wang, and Ling Wang, “Refined stability estimates in electrical impedance tomography with multi-layer structure”, Inverse Problems and Imaging, 16 (2022), no. 1, 229-249

[2] Pu-Zhao Kow and Jenn-Nan Wang , “Refined instability estimates for some inverse problems”, Inverse Problems and Imaging, to appear.

[3] Sei Nagayasu, Gunther Uhlmann, and Jenn-Nan Wang, “Depth dependent stability estimate in electrical impedance tomography”, Inverse Problems, Vol 25 (2009), 075001.