【研究成果】推進動力學方程式研究   新單調方程突破藍道方程式著名難題

by Yang-Kuang Chao
327 觀看次數

撰稿  /  張鳳吟 (科學推展中心特約編輯)


1872年,奧地利物理學家波茲曼(Ludwig Boltzmann)發表他其中一篇最重要的論文,內容包含著名的波茲曼方程式與H定理,以期從微觀的分子動力學來解釋熱力學第二定律,而他引進的H量便代表熱力學中的熵(entropy)。波茲曼在波茲曼方程式中引入了一個碰撞項,描述理想氣體中兩個粒子間的隨機碰撞。而在1936年,俄國物理學家藍道(Lev Landau)將這碰撞項衍伸考慮帶電粒子的情形,即粒子間具有庫倫作用力,所得的方程式後來稱為藍道方程式,在電漿物理中是非常重要的數學模型,描述碰撞電漿(collisional plasma)分布隨時間的演化。

考慮空間均勻的藍道方程式(對空間微分為0),方程式可寫成:

\(\partial_tf=Q\left(f,f\right)\left(v\right),\ \ t\geq0,\ v\in\mathbb{R}^3\)

其中未知量f為粒子在時間t、速度v的密度分布,Q(f,f)為藍道碰撞算子,只與速度v有關,寫成\(Q(g,h)=\mathrm{\nabla}(\left[a\ast g\right]\mathrm{\nabla h}+\left[a\ast\nabla g\right]h)\)而\(a\left(z\right)=\left|z\right|^{-1}(Id-z\bigotimes z/\left|z\right|^2)\)。由於藍道方程式是非線性的微分方程,加上碰撞算子具有奇異點(singularity),如何具體描述它的解,長期以來,一直是物理學家及數學家所追求的課題。

1998年,C. Villani (2010年Fields 獎得主)證明,當初始數據具有限質量、能量與熵時,上述藍道方程式有H解的整體存在性(global existence)[1]。這概念運用了波茲曼的H定理,因此Villani稱這個解為H解。不過後續的研究發現,H解事實上是個弱解(weak solution),意指這個解滿足連續性,但允許導數不連續。許多關於弱解之唯一性(uniqueness)、長時間行為、部分正則性(partial regularity)的結果,常伴隨著額外的條件。另一方面,Villani 在他2002年的專書中陳述[2],空間均勻藍道方程式最挑戰的問題是:解的光滑性是否能恆時傳播,或在一個有限時間後發生爆破?假使這樣的爆破出現,它的行為會是如何?Vallani認為,類似Navier-Stokes等非線性耗散方程式,藍道方程式的解之耗散與爆破間的競爭關係,是個有趣但長久未解的知名難題。2022年科技部傑出研究獎得主,清大數學系江金城教授近年的研究以動力學方程式為主軸,特別專注在波茲曼碰撞算子與藍道碰撞算子的性質理解。近期,他與法國第七大學L. Desvillettes教授及北京清華大學何凌冰教授合作,找到一個有別於H定理的新單調公式(monotonicity formula),以量化方式描述解的行為,透過這個公式,他們對於解的耗散與爆破兩者之間的競爭關係,提供了突破性的理解,也因此部分解決Villani所提出的難題。他們的成果已被國際頂尖期刊《歐洲數學學會期刊》接受[3]。

分布函數f(t,v)的熵H(t)與熵產生D(f)(t)遵守\(\frac{d}{dt}H\left(t\right)=-D(f)(t)\le0\),表示解隨著時間最終會趨於穩定態,也就是馬克斯威爾分布\(\mu={(2\pi)}^{-3/2}e^{-\left|v\right|^2/2}\)(設質量為1)。江教授團隊假設初始數據具有限熵、充足耗散、一點正則性,如果定義解\(f\equiv\mu+h\)代入上述藍道方程式,可得到H定理之外的新單調公式:

其中\(C{(1+t)}^k\)為耗散項,B、C>0,k2>7/2, k>0為與初始數據中熵與耗散相關的常數,而為h(t)在均勻Sobolev空間\({\dot{H}}^1\)的範數。從這個公式,我們可以推論,假如初始數據滿足,則空間均勻藍道方程式有整體的強非負解(整體正則性);如果初始數據不滿足這個條件,我們可建構一個整體的弱非負解,使得在某個可計算時間\(T^\ast\)後,這個解變成整體的強解,因此沒有爆破的情形發生。團隊的主要結果部分回答了Villani第一個問題,另外團隊也在論文中探討了Villani第二個問題。

江金城教授表示,這研究是他跟何教授在2020年一月拜訪L. Desvillettes教授後開始,這是Fields獎得主Vallani所提出的一個著名難題,因此他們的成果特別受到國際專家肯定,此成果亦對後續的理論分析相當有啟發性。


參考文獻

[1] C. Villani. On a new class of weak solutions to the spatially homogeneous Boltzmann and Landau equations, Arch. Rat. Mech. Anal., 143(3):273–307, 1998

[2] C. Villani. A review of mathematical topics in collisional kinetic theory. In Handbook of mathematical fluid dynamics, Vol. I, pages 71–305. North-Holland, Amsterdam, 2002.

[3]  L. Desvillettes, L. He and J.-C. Jiang A new monotonicity formula for the spatially homogeneous Landau equation with Coulomb potential and its applications, accepted by Journal of European Mathematical Society. Available at Arxiv:2011.00386

你可能也想知道

X