撰稿 / 張鳳吟 (科學推展中心特約編輯)
1872年，奧地利物理學家波茲曼(Ludwig Boltzmann)發表他其中一篇最重要的論文，內容包含著名的波茲曼方程式與H定理，以期從微觀的分子動力學來解釋熱力學第二定律，而他引進的H量便代表熱力學中的熵(entropy)。波茲曼在波茲曼方程式中引入了一個碰撞項，描述理想氣體中兩個粒子間的隨機碰撞。而在1936年，俄國物理學家藍道(Lev Landau)將這碰撞項衍伸考慮帶電粒子的情形，即粒子間具有庫倫作用力，所得的方程式後來稱為藍道方程式，在電漿物理中是非常重要的數學模型，描述碰撞電漿(collisional plasma)分布隨時間的演化。
考慮空間均勻的藍道方程式(對空間微分為0)，方程式可寫成：
\(\partial_tf=Q\left(f,f\right)\left(v\right),\ \ t\geq0,\ v\in\mathbb{R}^3\)
其中未知量f為粒子在時間t、速度v的密度分布，Q(f,f)為藍道碰撞算子，只與速度v有關，寫成\(Q(g,h)=\mathrm{\nabla}(\left[a\ast g\right]\mathrm{\nabla h}+\left[a\ast\nabla g\right]h)\)而\(a\left(z\right)=\left|z\right|^{-1}(Id-z\bigotimes z/\left|z\right|^2)\)。由於藍道方程式是非線性的微分方程，加上碰撞算子具有奇異點(singularity)，如何具體描述它的解，長期以來，一直是物理學家及數學家所追求的課題。
1998年，C. Villani (2010年Fields 獎得主)證明，當初始數據具有限質量、能量與熵時，上述藍道方程式有H解的整體存在性(global existence)[1]。這概念運用了波茲曼的H定理，因此Villani稱這個解為H解。不過後續的研究發現，H解事實上是個弱解(weak solution)，意指這個解滿足連續性，但允許導數不連續。許多關於弱解之唯一性(uniqueness)、長時間行為、部分正則性(partial regularity)的結果，常伴隨著額外的條件。另一方面，Villani 在他2002年的專書中陳述[2]，空間均勻藍道方程式最挑戰的問題是：解的光滑性是否能恆時傳播，或在一個有限時間後發生爆破？假使這樣的爆破出現，它的行為會是如何？Vallani認為，類似Navier-Stokes等非線性耗散方程式，藍道方程式的解之耗散與爆破間的競爭關係，是個有趣但長久未解的知名難題。2022年科技部傑出研究獎得主，清大數學系江金城教授近年的研究以動力學方程式為主軸，特別專注在波茲曼碰撞算子與藍道碰撞算子的性質理解。近期，他與法國第七大學L. Desvillettes教授及北京清華大學何凌冰教授合作，找到一個有別於H定理的新單調公式(monotonicity formula)，以量化方式描述解的行為，透過這個公式，他們對於解的耗散與爆破兩者之間的競爭關係，提供了突破性的理解，也因此部分解決Villani所提出的難題。他們的成果已被國際頂尖期刊《歐洲數學學會期刊》接受[3]。
分布函數f(t,v)的熵H(t)與熵產生D(f)(t)遵守\(\frac{d}{dt}H\left(t\right)=-D(f)(t)\le0\)，表示解隨著時間最終會趨於穩定態，也就是馬克斯威爾分布\(\mu={(2\pi)}^{-3/2}e^{-\left|v\right|^2/2}\)(設質量為1)。江教授團隊假設初始數據具有限熵、充足耗散、一點正則性，如果定義解\(f\equiv\mu+h\)代入上述藍道方程式，可得到H定理之外的新單調公式：
其中\(C{(1+t)}^k\)為耗散項，B、C>0，k2>7/2， k>0為與初始數據中熵與耗散相關的常數，而
為h(t)在均勻Sobolev空間\({\dot{H}}^1\)的範數。從這個公式，我們可以推論，假如初始數據滿足
，則空間均勻藍道方程式有整體的強非負解(整體正則性)；如果初始數據不滿足這個條件，我們可建構一個整體的弱非負解，使得在某個可計算時間\(T^\ast\)後，這個解變成整體的強解，因此沒有爆破的情形發生。團隊的主要結果部分回答了Villani第一個問題，另外團隊也在論文中探討了Villani第二個問題。
江金城教授表示，這研究是他跟何教授在2020年一月拜訪L. Desvillettes教授後開始，這是Fields獎得主Vallani所提出的一個著名難題，因此他們的成果特別受到國際專家肯定，此成果亦對後續的理論分析相當有啟發性。
參考文獻
[1] C. Villani. On a new class of weak solutions to the spatially homogeneous Boltzmann and Landau equations, Arch. Rat. Mech. Anal., 143(3):273–307, 1998
[2] C. Villani. A review of mathematical topics in collisional kinetic theory. In Handbook of mathematical fluid dynamics, Vol. I, pages 71–305. North-Holland, Amsterdam, 2002.
[3] L. Desvillettes, L. He and J.-C. Jiang A new monotonicity formula for the spatially homogeneous Landau equation with Coulomb potential and its applications, accepted by Journal of European Mathematical Society. Available at Arxiv:2011.00386
